「理由」とは、物事がそうなった、あるいはなぜそのように判断したのか、その根拠を表す言葉です。
これに対して「理屈」とは、その人にとっての利益・都合・事情にかなった理由を表す場合によく使われる言葉です。
「理由」は「事情」「訳（わけ）」、「理屈」は「こじつけ」や「言い訳」と言い換えれば分かりやすいと思います。
「理由」の意味
「理由」は、物事がそうなった、あるいは物事をそのように判断したのかを相手に説明することです。
例えば、勤めていた会社を退職する場合に退職届を書くことになりますが、この際には会社へ退職理由（退職に至った事情、訳）を届け出るかたちになります。
結婚により退職する場合には、「結婚を機に家事に専念したいため、退職させていただきたく存じます。」
、別の会社に転職等で退職する理由を公に知らせたくない場合には、「一身上の都合により退職させていただきたく存じます。」
というのが退職理由の書き方（一例）となります。
「理屈」の意味
「理屈」は、その人にとっての利益・都合・事情にかなった理由・根拠、俗にいう「こじつけ」「言い訳」を表す場合によく使われる言葉です。
「屁（へ）理屈」といった言い回しを耳にしたことがあると思います。
「屁」とはおならのことで、この「屁」を付けた言葉は「おならのようにくだらない、おならほども価値のない、くだらないものを表す場合に用いる表現です。
「屁理屈」とは、「言い逃れや苦しい言い訳、筋が通っておらず納得できないような理屈」ということになります。
「理由」と「理屈」の用法や用例
「理由」は、物事がそうなった、あるいは物事をそのように判断したのかを相手に説明することです。
具体的には、「正当な理由を申し述べなさい」「あなたが彼を助けた理由は？」「当社に入社したいと考えた理由は？」「理由もなく彼女を叱るのをやめなさい」といったかたちで使われます。
これに対して「理屈」は、その人にとっての利益・都合・事情にかなった理由、俗にいう「こじつけ」「言い訳」を表す場合に使われる言葉です。
具体的には、「あの人は自分にとって有利な理屈ばかりこね回す」「今あなたが言ったことは屁理屈だ」「あのひとの言っている理屈は世間では通らない」といったかたちで使われます。
「理由」も「理屈」も話し手が聞き手に対して根拠を説明すること
「理由」とは、物事がそうなった、あるいはそのように判断した根拠を表す言葉です。
これに対して「理屈」とは、その人にとっての利益・都合・事情にかなった理由を表す場合に使われる言葉です。
「理由」は、話し手自身が正当に物事を説明する場合に用いられますが、「理屈」は、根拠が不足している、あるいは意図的に自分にとって有利である異なる根拠とすり替えて説明する場合に用いられることが多い言葉になります。
（先ほども申し上げましたが、最も最たる言葉、表現が「屁理屈」ということです。）